數字系統

數字系統是一組使用不同數字符號表示數字的規則。數字系統分為兩種類型：非位置和位置。

在位置數字系統中，每個數字的值不取決於它所佔的位置，即它在數字集中所佔的位置。在羅馬數字系統中，只有七位數字：一（I）、五（V）、十（X）、五十（L）、一百（C）、五百（D）、一千（M）。使用這些數字（符號），通過加法和減法寫出剩餘的數字。例如，IV 是數字 4 的記法（V-I），VI 是數字 6（V+I）等。數字 666 在羅馬系統中的書寫方式如下：DCLXVI。

這種表示法不如我們目前使用的方便。這裡的六用一個符號寫成（VI），六個十用另一個符號寫成（LX），六百和三分之一（DC）。用羅馬數字系統編寫的數字很難執行算術運算。此外，非位置系統的一個共同缺點是在其中表示足夠大的數字的複雜性，從而導致極其繁瑣的符號。

現在考慮位置數字系統中的相同數字 666。其中，單6表示排在最後一位的個數，排在倒數第二位的表示十的個數，排在倒數第三位的表示百位的個數。這種寫數字的原則稱為位置（局部）。在這樣的記錄中，每個數字都會收到一個數值，這不僅取決於它的風格，還取決於它在書寫數字時所處的位置。

在位置數係中，任何表示為 A = +a1a2a3 … ann-1an 的數都可以表示為和

其中 n — 數字圖像中的有限位數，ii 數字 i-go 數字，d — 數字系統的基數，i — 類別的序數，dm-i — i-ro 類別的“權重” .數字 ai 必須滿足不等式 0 <= a <= (d — 1)。

對於十進製表示法，d = 10 且 ai = 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

由於由 1 和 0 組成的數字在一起使用時可以被視為十進製或二進制數，因此通常表示數字系統的基數，例如 (1100)2-二進制，(1100)10-十進制。

在數字計算機中，廣泛使用十進制以外的系統：二進制、八進制和十六進制。

二進制系統

對於這個系統 d = 2，這裡只允許兩位數字，即 ai = 0 或 1。

以二進製表示的任何數字都表示為基數的冪乘以給定位的二進制數的乘積之和。比如數字101.01可以這樣寫：101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2，對應十進制數：4 + 1 + 0.25 = 5.25。

在大多數現代數字計算機中，二進制數字系統用於表示機器中的數字並對其執行算術運算。

與十進制相比，二進制數字系統可以簡化運算設備和存儲設備的電路和電路，並提高計算機的可靠性。二進制數的每一位數字由晶體管、二極管等元件的“開/關”狀態表示，這些元件在“開/關”狀態下可靠工作。二進制系統的缺點包括需要根據特殊程序將原始數字數據轉換為二進制數字系統並將判定結果轉換為十進制。

八進制數係統

該系統的基數 d == 8。數字用於表示數字：0、1、2、3、4、5、6、7。

八進制數係統在計算機中用作幫助準備解決問題（在編程過程中）、檢查機器的操作和調試程序。該系統給出了比二進制系統更短的數字表示形式。八進制數字系統允許您簡單地切換到二進制系統。

十六進制數係統

該系統的基數 d = 16。16 個字符用於表示數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 和字符 A ... F 表示十進制數 10、11、12、13、14 和 15。十六進制數 (1D4F) 18 將對應於十進制數 7503，因為 (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15×16O = (7503)10

十六進製表示法允許二進制數比八進制數寫得更緊湊。應用於一些計算機的輸入輸出設備和數序顯示設備。

二進制-十進制數係統

二進制十進制數的表示法如下。以數的十進製表示法為基礎，然後將它的每一位（從0到9）寫成一個四位二進制數的形式，稱為四元組，即不用一個符號來表示十進制的每一位，不過四位。

例如，十進制的 647.59 將對應 BCD 0110 0100 0111、0101 1001。

二進制-十進制數字系統用作中間數字系統並用於對輸入和輸出數字進行編碼。

將一種數制轉移到另一種數制的規則

計算機設備之間的信息交換主要是通過二進制數字系統中表示的數字來進行的。但是，信息以十進制系統中的數字形式呈現給用戶，而命令尋址以八進制系統呈現。因此需要在使用計算機的過程中將數字從一個系統傳輸到另一個系統。為此，請使用以下一般規則。

要將一個整數從任何一種數制轉換成另一種數制，必須將該數連續除以新系統的底數，直到商不小於除數。新系統中的數字必須以除法餘數的形式書寫，從最後一位開始，即從右到左。

例如，讓我們將十進制的 1987 轉換為二進制：

十進制數 1987 的二進制形式為 11111000011，即(1987)10 = (11111000011)2

從任何系統轉換為十進制時，數字表示為基數的冪與相應係數的總和，然後計算總和的值。

例如，讓我們將八進制數 123 轉換為十進制數：(123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83，即(123)8 = (83)10

要將一個數的小數部分從任何系統轉移到另一個系統，有必要對該分數進行連續乘法，並根據新的數字系統生成乘積的小數部分。新系統中數字的小數部分以結果產品的整數部分的形式形成，從第一個開始。乘法過程一直持續到計算出具有給定精度的數字為止。

例如，讓我們將小數 0.65625 轉換為二進制數係統：

由於第五個乘積的小數部分僅由零組成，因此不需要進一步乘法。這意味著給定的十進制被無誤地轉換為二進制，即(0.65625)10 = (0.10101)2。

從八進制和十六進制轉換為二進制，反之亦然並不困難。這是因為它們的基數（d - 8 和 d - 16）對應於整數 2（23 = 8 和 24 = 16）。

要將八進製或十六進制數轉換為二進制數，只需分別用三位或四位二進制數替換它們的每個數字即可。

例如，讓我們將八進制數 (571)8 和十六進制數 (179)16 轉換為二進制數係統。

在這兩種情況下，我們得到相同的結果，即(571)8 = (179)16 = (101111001)2

要將數字從二進制十進制轉換為十進制，您需要用十進製表示的數字替換二進制十進製表示的數字的每個四分位數。

例如，我們將數字 (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 寫成十進制，即(0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)