邏輯代數的基礎和定律

19 世紀中葉的愛爾蘭數學家 喬治布爾 發展了邏輯代數（“思維法則研究”）。因此邏輯代數也被稱為 布爾代數.

通過給字母指定，用動作符號表示邏輯變換的操作，並使用為這些動作建立的規則和公理，邏輯代數允許解決用語句邏輯給出的問題的推理過程在算法中得到充分描述，也就是說，有一個用數學編寫的程序來解決這個問題。

為了表示語句的真假（即引入用於評估語句的值），邏輯代數使用二進制系統，在這種情況下很方便。如果語句為真，則取值 1，如果為假，則取值 0。與二進制數不同，邏輯 1 和 0 不表示數量，而是表示狀態。

因此，在使用布爾代數描述的電路中，其中 1 表示存在電壓，0 表示不存在電壓，從多個源到電路的一個節點（即它的幾個邏輯單元的到達）的電壓供應是也顯示為一個邏輯單元，它不指示節點處的總電壓，而僅指示其存在。

在描述邏輯電路的輸入和輸出信號時，使用僅取邏輯 0 或 1 值的變量。確定輸出信號對輸入的依賴性 邏輯運算（函數）… 讓我們用 X1 和 X2 表示輸入變量，用 y 表示對它們進行邏輯運算獲得的輸出。

想一想 三個基本的基本邏輯運算, 借助它可以描述越來越複雜的問題。

1. OR運算——邏輯加法：

給定變量的所有可能值，可以將 OR 運算定義為輸入中至少一個單元足以在輸出中產生一個單元。操作的名稱由短語中聯合 OR 的語義解釋：«如果 OR 是一個輸入 OR 第二個是一個，則輸出是一個。»

2. AND運算——邏輯乘法：

從考慮變量的全值集合，AND運算被定義為需要匹配輸入上的所有一個才能在輸出上得到一個：“如果AND是一個輸入，第二個是ones，那麼輸出是一個。 «

3. 運算 NOT——邏輯非或反轉。 它由變量上方的條表示。

反轉時，變量的值被反轉。

邏輯代數的基本規律：

1、零集法則： 如果任何變量為零，則任意數量的變量的乘積都會消失，而不管其他變量的值如何：

2. 萬有集合法則 — 如果至少有一個變量的值為 1，則任意數量的變量之和變為 1，而不管其他變量：

3. 重複法則 — 表達式中重複的變量可以省略（換句話說，布爾代數中沒有數值係數的冪和乘法）：

4.雙重反轉定律 — 執行兩次的反轉是一個空操作：

5.互補法則 — 每個變量與其倒數的乘積為零：

6. 每個變量與其倒數之和為一：

7. 保護法 — 執行乘法和加法運算的結果不取決於變量遵循的順序：

8. 聯合法則 — 在乘法和加法運算期間，變量可以按任何順序分組：

9.分配法則 — 允許將總係數放在括號外：

10.吸收定律 — 指出簡化涉及所有因子和項中的變量的表達式的方法：

11. 德摩根定律 — 乘積的反轉是變量反轉的總和：

和的反轉是變量反轉的乘積：