矢量場的流動和環流

N基於 Richard Feynman 的講座材料

在用矢量場描述電定律時，我們面臨著矢量場的兩個數學上重要的特徵：通量和環流。如果能理解這些數學概念是什麼以及它們的實際意義是什麼，那就太好了。

問題的第二部分很容易馬上回答，因為流量和循環的概念是 麥克斯韋方程組，所有現代電動力學實際上都基於它。

因此，例如，電磁感應定律可以表述如下：電場 E 沿閉環 C 的環流等於磁場 B 穿過由其界定的表面 S 的通量變化率循環 B。

在下文中，我們將使用清晰的流體示例非常簡單地描述如何以數學方式確定場特徵，並從中獲取和獲得這些場特徵。

矢量場通量

首先，讓我們在研究區域周圍繪製一個完全任意形狀的特定封閉曲面。描繪完這個表面後，我們會問研究對象（我們稱之為場）是否流過這個封閉表面。要了解這是怎麼一回事，請考慮一個簡單的液體示例。

假設我們正在研究某種流體的速度場。對於這樣的例子，有必要問：每單位時間流經該表面的流體是否多於流入該表面所包圍的體積的流體？換句話說，流出率是否總是主要從內向外？

通過表達式“矢量場通量”（對於我們的示例，表達式“流體速度通量”將更準確），我們將同意命名流過給定邊界的所考慮體積表面的假想流體總量封閉表面（對於流體流速，單位時間內從體積流出多少流體）。

結果，通過表面單元的通量將等於表面單元的面積與速度的垂直分量的乘積。那麼整個表面的總（總）通量將等於速度的平均法向分量（我們將從內向外計算）與總表面積的乘積。

現在回到電場。電場當然不能被認為是某種液體的流動速度，但是我們有權引入一個流動的數學概念，類似於我們上面描述的液體速度的流動。

只有在電場的情況下，它的通量可以由電場強度E的平均法向分量E來確定。另外，電場的通量不一定通過封閉的表面，而是通過任何有界的表面來確定非零區域 S 。

矢量場的環流

眾所周知，為了更清楚起見，可以用所謂的力線的形式來描繪場，在力線的每個點處，切線的方向與場強的方向重合。

讓我們回到流體類比，想像一下流體的速度場。讓我們問自己一個問題：流體是否在循環？也就是說，它是否主要朝著某個假​​想的閉環方向移動？

為了更清楚，想像一個大容器中的液體以某種方式移動（圖 A），我們突然凍結了幾乎所有的體積，但設法使體積以均勻封閉的管的形式未凍結，其中沒有液體在壁上的摩擦（圖 b）。

在這個管子外面，液體已經變成冰，因此不能再移動，但是在管子裡面，液體能夠繼續它的運動，前提是有一個主導的動量驅動它，例如，沿順時針方向（圖 1）。 °C)。則管內流體速度與管長的乘積稱為流體速度循環。

類似地，我們可以為矢量場定義環流，雖然該場不能說是任何東西的速度，但我們仍然可以定義“環流”沿等高線的數學特徵。

因此，矢量場沿假想閉環的環流可以定義為矢量在環路通過方向的平均切向分量與環路長度的乘積。